<p dir="RTL">البیرونی نے زمین کا محیط تین چیزوں کے ذریعے معلوم کیا<span dir="LTR">.</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">1. </span>اصطرلاب<span dir="LTR"> (Astrolabe)</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">)</span>اصطرلاب ایک فلکیاتی آلہ ہے جس کی مدد سے کسی بھی جسم کا زاویہ<span dir="LTR"> (Angle) </span>معلوم کیا جاتا ہے<span dir="LTR">(</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">2. </span>زمین پر موجود ایک ایسا پہاڑ جس کے سامنے ایک وسیع و عریض ہموار میدان ہو تاکہ پہاڑ کی چوٹی سے افق<span dir="LTR"> (Horizon) </span>کا زاویہ نزول<span dir="LTR"> (Angle of depression) </span>آسانی سے معلوم کیا جا سکے<span dir="LTR">.</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">)</span>افق اس مقام کو کہتے ہیں جہاں پر آسمان او زمین آپس میں ملتے نظر آتے ہیں<span dir="LTR">.(</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">3. </span>علمِ تکونیات<span dir="LTR"> (Trigonometry)</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">)</span>تکونیات علمِ ریاضی کی ایک شاخ ہے<span dir="LTR">(</span></p> <p dir="RTL">البیرونی نے زمین کا محیط<span dir="LTR"> (Circumference) </span>معلوم کرنے سے پہلے زمین کا رداس<span dir="LTR"> (Radius) </span>معلوم کیا کیونکہ کسی بھی دائرہ یا کُرہ کا اگر رداس معلوم ہو تو<span dir="LTR"> (C=2πR) </span>کے کلیہ سے محیط آسانی سے معلوم کیا جا سکتا ہے<span dir="LTR">.</span></p> <p dir="RTL">اس کے بعد اس نے تکونیاتی کلیہ کی مدد سے پہاڑ کی بلندی<span dir="LTR"> (h) </span>معلوم کی وہ طریقہ درج ذیل ہے<span dir="LTR">.</span></p> <p dir="RTL">پہلے مرحلے میں البیرونی نے ایک ایسی جگہ کا انتخاب کیا جہاں زمین پر ایک اونچا پہاڑ ہو اور اس کے سامنے وسیع و عریض ہموار میدان ہو جہاں پہاڑ کی چوٹی سے افق کا زاویہ نزول آسانی سے معلوم کیا جا سکے. ایسی جگہ اسے موجودہ پاکستان کے علاقے پنڈ داد خان کے قریب مل گئی تھی. اس لیے انہوں نے زمین کا محیط معلوم کرنے کے لیے اسی جگہ کا انتخاب کیا<span dir="LTR">.</span></p> <p dir="RTL">سب سے پہلے البیرونی نے پہاڑ کی بلندی معلوم کی اس کے لیے اس نے پہاڑ کی چوٹی پر چڑھ کر اصطرلاب کے ذریعے افق کا زاویہ نزول معلوم کیا. اس کے لیے ایک ایسے دن کا انتخاب کیا کہ جب موسم معتدل اور مطلع صاف ہو تاکہ دور سے افق آسانی سے نظر آسکے اور پہاڑ کی چوٹی سے نیچے افق تک زاویہ نزول آسانی سے ماپا جا سکے<span dir="LTR">.</span></p> <p dir="RTL">اس نے زاویہ نزول ماپنے کے ساتھ افق کے اس مقام پر جہاں پہاڑ کی چوٹی سے آسمان اور زمین ملتے ہوئے نظر آتے تھے کو ایک نقطہ<span dir="LTR"> (C) </span>کا نام دیا اور پھر اسی مقام یعنی نقط<span dir="LTR"> (C) </span>پر جا کی اصطرلاب کے ذریعے پہاڑ کی چوٹی کا زاویہ صعود<span dir="LTR"> ( Angle of elevation) </span>معلوم کیا اور اسے (زاویہ<span dir="LTR">θ1) </span>کا نام دیا پھر افق اور پہاڑ کے درمیان ایک اور نقطہ<span dir="LTR"> (D) </span>کا انتخاب کیا اور وہاں سے بھی اصطرلاب کی مدد سے پہاڑ کی چوٹی کا زاویہ صعود معلوم کیا اور اسے (زوایہ<span dir="LTR">θ2) </span>کا نام دیا اور ان دو نقاظ نقطہ<span dir="LTR"> (C) </span>اور نقطہ<span dir="LTR"> (D) </span>کے درمیان فاصلہ ماپا اور اس فاصلے کو<span dir="LTR"> (d) </span>کا نام دیا، نقطہ<span dir="LTR"> (D) </span>اور پہاڑ کے درمیان فاصلہ کو<span dir="LTR"> (l) </span>کا نام دیا اور اس تکونیاتی کلیہ کی مدد سے پہاڑ کی بلندی<span dir="LTR"> (h) </span>معلوم کی</p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">h= dtanθ1tanθ2/ tanθ2 - tanθ1</span></p> <p dir="RTL">یہ کلیہ مندرجہ ذیل طریقے سے اخذ کیا</p> <p dir="RTL">قائمۃ الزاویہ مثلث<span dir="LTR"> BAC∆ </span>میں (دیکھیں شکل 1<span dir="LTR">(</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">tanθ=</span>قائدہ/عمود</p> <p dir="RTL">عمود<span dir="LTR">=h</span></p> <p dir="RTL">قاعدہ<span dir="LTR">=d+l </span></p> <p dir="RTL">اسلیے</p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">tanθ1=h/d+l</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">h=dtanθ1 + ltanθ1.................. )</span>مساوات نمبر 1<span dir="LTR">(</span></p> <p dir="RTL">قائمۃ الزاویہ مثلث<span dir="LTR"> BAD∆ </span>میں (دیکھیں شکل 1<span dir="LTR">(</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">tanθ=</span>قاعدہ/عمود</p> <p dir="RTL">عمود<span dir="LTR">=h</span></p> <p dir="RTL">قاعدہ<span dir="LTR">=l</span></p> <p dir="RTL">اسلیے</p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">tanθ2=h/l</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">l=h/tanθ2</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">| </span>کی قیمت مساوات نمبر 1 میں درج کرنے سے</p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">h=dtanθ1 + (h/tanθ2)tanθ1</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">h=dtanθ1 + htanθ1/tanθ2</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">dtanθ1=h - htanθ1/tanθ2</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">dtanθ1=h/tanθ2(tanθ2 - tanθ1)</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">h=dtanθ1tanθ2/tanθ2 - tanθ1</span></p> <p dir="RTL">یوں البیرونی نے پہاڑ کی چوٹی<span dir="LTR"> A</span>، اُفق<span dir="LTR"> C</span>، اور زمین کے مرکز<span dir="LTR"> O </span>کے نقاط کو ملا کر ایک قائمۃ الزاویہ مثلث<span dir="LTR"> CAO∆ </span>بنا دی. اور اس مثلث کے تینوں اضلاع میں سے قاعدہ کے ضلع کو رداس<span dir="LTR"> (R) </span>اور عمود کے ضلع کو<span dir="LTR"> (AC) </span>اور وتر کے ضلع کو رداس + بلندی<span dir="LTR"> (R+h) </span>کا نام دیا اور پہاڑ کی چوٹی سے زاویہ نزول کو<span dir="LTR"> (α) </span>کا نام دیا. اور پھر تکونیات کے اس کلیہ کی مدد سے زمین کا رداس معلوم کیا<span dir="LTR">.</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">R=hcosα/1 - Cosα</span></p> <p dir="RTL">یہ کلیہ مندرجہ درجہ ذیل طریقے سے اخذ کیا</p> <p dir="RTL">قائمۃ الزاویہ مثلث<span dir="LTR"> CAO∆ </span>میں (دیکھیں شکل 2<span dir="LTR">(</span></p> <p dir="RTL">خط<span dir="LTR"> AC </span>نقطہ<span dir="LTR"> C </span>پر عموداً<span dir="LTR"> (Tangent) </span>گرتا ہے<span dir="LTR">.</span></p> <p dir="RTL">زاویہ<span dir="LTR">(A)= (90° - α)</span></p> <p dir="RTL">زویہ<span dir="LTR">(C)=90°</span></p> <p dir="RTL">زوایہ<span dir="LTR">(O)= {</span>زاویہ<span dir="LTR">(C)+</span>زاویہ<span dir="LTR">(A)} - 180</span></p> <p dir="RTL">عمود<span dir="LTR">= AC</span></p> <p dir="RTL">قاعدہ<span dir="LTR">= R</span></p> <p dir="RTL">وتر<span dir="LTR">= R+h</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">Cosθ= </span>وتر/قاعدہ</p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">θ=α</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">Cosα= R/R+h</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">Rcosα +hcosα=R</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">R - Rcosα = hcosα</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">R(1 -cosα) = hcosα</span></p> <p dir="RTL"><span dir="LTR">R = hcosα/1 -cosα</span></p>